Laudatio di Giorgio Parisi

È per chiunque difficile dare un quadro esaustivo dei contributi scientifici di Giorgio Parisi per la straordinaria qualità e quantità della sua produzione scientifica. Il numero delle sue pubblicazioni scientifiche si avvicina al migliaio con un numero di citazioni dell'ordine delle ottantamila. Giorgio Parisi è certamente uno dei fisici teorici più noti al mondo anche grazie al fatto di aver prodotto contributi di grande rilevanza scientifica in diversi campi di ricerca: dalla fisica delle particelle elementari, alla fisica della materia, alla costruzione di supercomputer dedicati alla ricerca scientifica, alla meccanica statistica dei sistemi disordinati; i suoi lavori in quest'ultimo campo , quelli dedicati ai vetri di spin, pongono in evidenza caratteristiche si ritrovano anche in altri sistemi, in biologia, in economia e in intelligenza artificiale, in quanto identificano proprietà generali dei sistemi, connesse alla loro complessità.
Ho pensato, perciò, che il miglior modo per illustrarne la rilevanza, nei minuti che mi sono concessi, sia di concentrarmi su alcuni dei suoi contributi più importanti in questo campo, quelli relativi ai vetri di spin, per il carattere universale dei risultati cui pervengono.
Vetri di spin
Ma cosa sono i vetri di Spin? I primi materiali di questo tipo furono costruiti da Neel intorno al 1932 diluendo un metallo magneticamente attivo (per es. ferro) in una matrice nobile (per es. oro o argento) con concentrazioni intorno all'1%. La loro caratteristica più importante è che essi mostrano proprietà sia ferromagnetiche sia antiferromagnetiche.
Permettetemi di ricordare alcune di queste proprietà. Nell'interpretazione microscopica, il comportamento degli atomi di un metallo ferromagnetico può essere assimilato a quello di piccoli magneti, che si orientano come l'ago di una bussola si orienta al campo magnetico terrestre. La direzione, il verso e l'intensità degli effetti magnetici si possono descrivere mediante un parametro chiamato momento magnetico. 1Se il ferro viene riscaldato ad alta temperatura, l'energia termica predomina sulle interazioni ferromagnetiche, cosicché il verso di ogni momento magnetico cambia casualmente da un istante all'altro. Quando la temperatura viene ridotta, le interazioni tra i momenti magnetici diventano predominanti e questi tendono ad allinearsi. Alla temperatura nota come punto di Curie, di 768 gradi Celsius la disposizione degli atomi cambia repentinamente

e radicalmente ed i momenti magnetici si allineano per lo più nello stesso verso. Sono materiali ferromagnetici il ferro, il cobalto e il nichel.
In altri materiali, invece, prevale un diverso tipo di ordine negli stati di bassa energia. Per esempio, atomi di cromo contigui tendono ad allinearsi con momenti magnetici nei versi opposti. Questo comportamento, opposto a quello del ferro, viene definito antiferromagnetico.
Nei vetri di spin due atomi magnetici adiacenti possono presentare interazioni ferromagnetiche o antiferromagnetiche. Ciascuno degli elettroni di conduzione che si muovono liberamente nel rame possiede uno spin che viene influenzato in modo alquanto strano da un atomo di ferro. A una certa distanza gli atomi di ferro fanno orientare lo spin degli elettroni di conduzione in modo che sia parallelo al loro stesso spin; a una distanza poco maggiore lo spin degli elettroni di conduzione è antiparallelo allo spin del ferro. Ancora più in là lo spin è parallelo, e così via. Quindi l'atomo di ferro si trova al centro di una successione di sfere concentriche di influenza decrescente in cui il suo effetto è alternativamente ferromagnetico e antiferromagnetico.
Di conseguenza, in un vetro di spin composto da molti atomi di un metallo dispersi in una matrice di un altro metallo, una parte delle coppie di atomi interagirà in modo ferromagnetico, mentre l'altra interagirà in modo antiferromagnetico.
Una osservazione ancora. Se i momenti magnetici di due atomi ferromagnetici adiacenti hanno verso opposto, il loro riallineamento libera energia. Quindi, nei materiali ferromagnetici l'energia magnetica totale è minima se i momenti magnetici di tutti gli atomi hanno lo stesso verso. Il contrario avviene nei materiali antiferromagnetici.
A basse temperature un sistema fisico evolve in maniera da minimizzare l'energia, ed il problema è dunque di trovare lo stato di equilibrio di un vetro di spin, caratterizzato dal minimo di energia magnetica. Nel caso di un materiale ferromagnetico, se un certo numero di atomi ha orientamento disordinato, il raggiungimento della configurazione di minimo di energia si dovrebbe poter ottenere anche se gli atomi disordinati si allineano uno alla volta; come vedremo nel caso dei vetri di spin questo non è possibile.
I Modelli
Sam F. Edwards, dell'Università di Cambridge, e Philip W. Anderson, della Princeton University, hanno introdotto nel 1975 un modello «a breve raggio d'azione» dei vetri di spin che è stato molto studiato. Nel loro modello, gli spins, localizzati sugli atomi magnetici, vengono schematizzati come variabili che possono prendere due valori e sono definite sui nodi di un reticolo regolare. Uno spin interagisce solo con i suoi vicini immediati, ma una data interazione ha la stessa probabilità di essere ferromagnetica o antiferromagnetica. 2Il modello di Edward e Anderson si è dimostrato molto difficile da studiare direttamente e la maggior parte dei progressi teorici è stata possibile grazie allo studio di un modello semplificato, introdotto da Sherrington e Kirkpatrick , che conserva le proprietà essenziali del modello di Edwards e Anderson.

Subito dopo le ricerche di Edwards e Anderson, David Sherrington, dell'Imperial College di Londra, e Scott Kirkpatrick, del Thomas J. Watson Research Center dell'IBM, proposero un modello «a raggio d'azione infinito». Essi ipotizzarono che in media ogni spin interagisse con la stessa intensità con ogni altro spin del sistema; la loro speranza era che l'ipotesi, pur essendo molto meno realistica, potesse condurre a un modello facilmente risolvibile. Comunque, i tentativi di ricavare le proprietà della fase di vetro di spin risultarono molto più difficili del previsto.
Quattro anni dopo, nel 1979, Giorgio Parisi ricavò una soluzione del modello di Sherrington-Kirkpatrick utilizzando il metodo delle repliche. Per le novità che comporta, questa soluzione rappresenta uno dei progressi più importanti nello studio della complessità. In particolare dimostra che a temperature sufficientemente basse il sistema ha un gran numero di stati di equilibrio (infinito quando N, il numero degli spin, tende a infinito).
Ciò che è inatteso, e caratteristico dei vetri di spin, è che un procedimento di ricerca sequenziale del minimo di energia, non porta al minimo globale, ma semplicemente a un minimo locale, ovvero a una configurazione la cui energia non diminuisce più cambiando l'orientamento di un singolo spin alla volta. Per passare da uno stato energetico di bassa energia (minimo locale) a uno più basso è necessario invertire una frazione significativa degli spin. Come vedremo, questa proprietà si ritrova anche nei sistemi biologici ed in quelli sociali.
Nel comportamento di questo modello gioca un ruolo preponderante il concetto di frustrazione introdotto da G. Toulouse. Immaginiamo tre atomi di ferro distribuiti casualmente in un reticolo di rame. Il primo atomo interagisce in modo antiferromagnetico con il secondo, mentre le interazioni tra il primo e il terzo e tra il secondo e il terzo sono ferromagnetiche. Non esiste alcuna possibilità di realizzare contemporaneamente tutte le interazioni. Per esempio, se lo spin del primo atomo è orientato verso l'alto, lo spin del secondo deve essere orientato verso il basso. Il terzo, a sua volta, dovrebbe allineare il proprio spin nella stessa direzione sia del primo (spin verso l'alto) sia del secondo (spin verso il basso). E evidente che almeno una di queste interazioni è impossibile. Un sistema nel quale non possono manifestarsi contemporaneamente tutte le possibili interazioni si dice «frustrato». Parisi ha sviluppato una metafora che spiega molto chiaramente tutto il processo , in cui le relazioni di interazione sono spiegate come relazioni di simpatia/antipatia tra individui (vedi Nota a fondo articolo) .
Ne segue che più di una configurazione soddisfa il maggiore numero possibile di interazioni, e quindi ne risulta una maggiore ricchezza e diversità fra gli stati di equilibrio. Nel modello Sherrington-Kirkpatrick tipicamente la metà di tutte le triplette sono frustrate.
La soluzione di Parisi ha ulteriori proprietà caratteristiche che valgono in generale in altri sistemi complessi. Mézard, Sourlas, Toulouse, Virasoro e Parisi dimostrarono nel 1984 che questi stati di bassa energia si possono ordinare in modo gerarchico, come in un albero genealogico, sulla base delle distanze reciproche. La comparsa di una simile struttura gerarchica è molto insolita nei sistemi fisici; essa ricorda piuttosto sistemi biologici e altri sistemi sottoposti a evoluzione e potrebbe essere un aspetto comune a molti sistemi disordinati.
Due stati, nella trattazione di Parisi, sono tanto più simili quanto limitate sono le inversioni degli spin necessarie per passare da una configurazione ad un'altra. La struttura ad albero genealogico suddivide il sistema in diversi livelli e fa capire che la distanza tra due elementi del sistema vicini come "i fratelli" è unitaria, così come il passaggio dall'antenato comune (il padre), mentre la distanza tra cugini può essere considerata pari a due

come i livelli da risalire per ritornare al comune antenato. È importante notare che tale struttura presenta caratteristiche tipiche dei cosiddetti sistemi frattali.

Estensioni ad altri campi di ricerca
L'interesse per questi risultati è stato straordinario anche fuori dal perimetro della fisica e ne posso dare una piccola testimonianza personale, avendo visto l'impatto che ebbe nel gruppo di scienziati del Santa Fe Institute (SFI). il Santa Fe Institute fu costituito nel 1984, quando un gruppo di matematici e fisici che avevano lavorato ai Laboratori di Los Alamos, diedero vita ad un istituto dedicato allo studio dei sistemi complessi, che includevano sistemi fisici, biologici, computazionali e sociali; credo sia stato uno dei centri di ricerca in cui i risultati delle ricerche di Giorgio Parisi ebbero un impatto maggiore e diedero luogo a nuovi importanti studi; All' SFI negli stessi anni, alla ricerca di modelli dei processi evolutivi in campo biologico, Stuart Kauffman aveva elaborato un modello detto NK, le cui caratteristiche erano sorprendentemente simili a quelle dei vetri di spin scoperte da Parisi. Nel corso di un decennio si svolse un lavoro intenso in questi campi e ricordo che nel 1995, quando partecipai ad un workshop sugli approcci evolutivi al cambiamento economico all'SFI, i suoi contributi sui vetri di spin erano considerati uno dei progressi fondamentali nello studio della complessità.
Vediamo ora studi in altri campi, biologia e genetica, economia e scienza dell'organizzazione, scienza politica, in cui si presentano proprietà di complessità simili a quelle dei vetri di spin.
Biologia e Genetica
L'insieme dei geni che costituiscono il corredo genetico può subire delle mutazioni. Le mutazioni geniche sono le mutazioni più frequenti e proprio per questa motivazione sono di fondamentale importanza nello svolgersi dei processi evolutivi, perché portano alla formazione di nuovi alleli e questo determina un pool genico sempre più ampio. Le mutazioni geniche aumentano la variabilità genetica all'interno di una popolazione mendeliana e ciò è di fondamentale importanza per lo svolgersi dei processi evolutivi.
Nel modello NK sviluppato da Stuart Kauffman vi è l'idea di rappresentare l'evoluzione di un organismo come un processo di mutazioni genetiche elementari che si realizzano come ricerca locale nello spazio dei possibili cambiamenti genetici.
Ad ogni corredo genetico (genotipo) corrisponde una differente capacità di adattamento e di sopravvivenza nell'ambiente, che viene chiamato "fitness". Lo schema di fondo si basa sulla nozione di "fitness landscape" elaborata negli anni 30' da Sewell Wright. Si pensi all'insieme dei genotipi, dove ogni genotipo è un punto nello spazio, ed ha come vicino immediato quei genotipi che rappresentano una mutazione singola. Una mutazione di un gene significa il passaggio da un genotipo ad uno dei suoi "vicini", ed il problema è se questa mutazione aumenti o diminuisca la fitness. L'evoluzione si fonda su processi di mutazione che fanno emergere nuovi genotipi che sopravvivono per selezione se hanno una migliore fitness.

L'evoluzione adattiva viene rappresentata dunque come un processo di "hill climbing" cioè ottimizzazione locale per passi elementari (Holland 1975), che nonostante la sua semplicità dà luogo un processo di ottimizzazione computazionalmente complesso. Ora qui ritroviamo proprietà analoghe a quelle dei vetri di Spin: invece di trovare la configurazione di energia minima, qui si tratta di cercare la configurazione di fitness massima; e anche qui la funzione di fitness costituisce un "rugged landscape", una superficie piena di massimi locali, il che fa sì che non sia possibile continuare a migliorare la fitness semplicemente modificando un gene alla volta. Quanto maggiore è la interazione tra i geni, che viene chiamata epistasi, più corrugata è la superficie cioè maggiore è il numero di ottimi locali.
Economia e scienza dell'organizzazione.
Il modello NK è sufficientemente astratto da potersi adattare ad altre entità, in generale ad organizzazioni oltre che ad organismi. Levinthal ha appunto esteso tale modello alle organizzazioni, e ai loro cambiamenti (adattivi oppure radicali). In questo caso la fitness è la capacità di un organizzazione (un'impresa o un'altra forma di cooperazione e coordinamento tra individui) di sopravvivere; o se si preferisce rappresenta il livello di performances dell'organizzazione stessa. In questo contesto è molto probabile che il valore di una caratteristica dell'organizzazione dipenda da una varietà di altre caratteristiche organizzative, generando in tal modo una molteplicità di ottimi locali. Il modello permette anche di studiare le condizioni per cui, proprio poiché inserire innovazioni elementari non permette di migliorare ulteriormente le performances dell'organizzazione, i miglioramenti possano avvenire solo cambiando un gruppo consistente di caratteristiche contemporaneamente. In questo caso si possono avere innovazioni radicali come "salti" sulla superficie che rappresenta la fitness.
Political science
Forse ancora più originale è l'estensione ai temi della scelta politica che viene fatta in un lavoro recente di Luigi Marengo: The construction of choice; a computational voting model.
Il lavoro di Marengo parte da un celebre risultato della teoria del voto: il teorema di impossibilità di Arrow. Si dia il caso di una comunità che necessiti di adottare un ordine di preferenze tra diverse opzioni. Ciascun individuo della comunità ha un proprio ordine di preferenza, che può esprimere tramite un voto. Il quesito è quello di trovare un sistema di voto, che trasformi l'insieme delle preferenze individuali in un ordinamento globale coerente. Arrow dimostra che non esiste una procedura di voto universale che permetta di aggregare le preferenze degli individui ottenendo un ordine sociale che sia coerente con le preferenze di tutti i cittadini.
La teoria della scelta sociale assume come date in modo esogeno, e non scomponibili, le alternative di scelta; al contrario, la scelta è sovente tra oggetti che sono costruiti da individui o istituzioni con caratteristiche complesse e spesso interdipendenti. Usando lo schema Nk , le componenti della scelta possono essere combinate in molti modi differenti; a seconda di come avviene questa ricombinazione il teorema di Arrow viene "attenuato", mostrando che l'efficacia di una procedura di voto nel rappresentare un ordinamento sociale dipende dal modo in cui vengono categorizzate le alternative di scelta; Il modello dimostra ciò che George Lakoff sostiene a proposito del "framing" ossia della rappresentazione delle scelte:
" I frames sono struttura mentali che danno forma al modo in cui noi vediamo il mondo: come risultato danno forma agli obbiettivi che perseguiamo, ai piani che facciamo, al modo in cui agiamo e valutiamo come positivo o negativo il risultato delle nostre azioni. In politica i nostri frames danno forma alle nostre politiche sociali e alle istituzioni che formiamo per realizzarle".

Non proseguo oltre, ma ricordo che altre importanti applicazioni ai fenomeni sociali sono state sviluppate nel campo della finanza, anche con l'aiuto dello sviluppo delle scienze cognitive.
Conclusioni
Per concludere lasciatemi citare brevemente Parisi per illustrare ulteriori proprietà dei sistemi complessi, che fin qui non abbiamo discusso.
"La maggior parte [dei sistemi complessi] ha un comportamento ‛caotico' molto interessante: un piccolo cambiamento nella forma delle leggi che ne regolano il movimento ne cambia completamente il comportamento macroscopico. Questo fenomeno è ben noto in biologia: la sostituzione di un singolo amminoacido in una proteina può alterarne la funzionalità, una singola mutazione in un essere vivente può portare alla comparsa di una nuova specie o alla morte."
"Dato che un piccolo cambiamento può influenzare così profondamente il comportamento macroscopico del sistema e che questo effetto diventa sempre più rilevante con l'aumentare del numero degli elementi che lo compongono, è praticamente impossibile fare previsioni sul comportamento macroscopico del sistema, in quanto i risultati dipendono da un numero enorme di dettagli microscopici. Questo fenomeno è ben noto a tutti coloro che hanno provato a calcolare (molto spesso senza grande successo) il modo in cui le proteine si ripiegano, a partire dalla loro composizione chimica."
"Difficoltà simili non sono senza precedenti nella fisica. Infatti, l'osservazione che per un dato sistema la traiettoria attuale è estremamente sensibile alle condizioni iniziali (si pensi a una palla da biliardo) esclude la possibilità di effettuarne il calcolo per tempi lunghi, anche nel caso di un numero piccolo di particelle. La giustificazione dei metodi della meccanica statistica è strettamente legata a questo fenomeno. L'imprevedibilità della traiettoria in senso deterministico fa sì che si possano ottenere solo predizioni statistiche per il comportamento del sistema. Già nel secolo scorso Boltzmann suggerì di rinunciare a studiare il moto del sistema per condizioni iniziali date e di concentrare l'attenzione sulla sua evoluzione a partire da condizioni iniziali generiche."
"in pratica, non è possibile ricostruire il comportamento collettivo del sistema a partire dalla sua struttura microscopica, in quanto una piccola variazione delle leggi microscopiche porta a un grande cambiamento al livello macroscopico."
Concludo con un cenno agli amici e colleghi economisti: forse è ora di attribuire meno importanza al modello standard dell'equilibrio economico generale, fondato sulla meccanica razionale ottocentesca, ed accettare che i sistemi economici sono sistemi complessi e possono essere trattati con un apparato concettuale più moderno ed adeguato, imparando dai progressi della fisica che si sono realizzati attraverso la costruzione di sempre nuovi strumenti analitici.
Dalle ricerche di Giorgio Parisi nel campo dei sistemi complessi emerge dunque un insegnamento importante anche sulla metodologia scientifica: le proprietà da lui scoperte non provengono dall'aver applicato un modello generale precostituito a dati sperimentali ma al contrario dall'aver fatto emergere dallo studio di una classe di oggetti fisici dai comportamenti "strani", i vetri di spin, caratteristiche e proprietà che ne spiegano la natura e contemporaneamente hanno un carattere universale; in quanto tali ci forniscono di nuovi strumenti intellettuali per comprendere un vasto insieme di fenomeni che finora non si sapevano affrontare appropriatamente.

1 Nel 1922 il famoso esperimento di Stern e Gerlach portò alla doppia sensazionale scoperta che le particelle – atomi nel caso specifico - possono avere un momento magnetico intrinseco (di "spin") e che esso è quantizzato. Il risultato dell'esperimento di Stern-Gerlach, fu infine interpretato come effetto dello spin dell'elettrone nell'orbitale più esterno, spaiato (in spin) e con momento angolare orbitale nullo

2 un sistema di momenti magnetici microscopici interagenti (spin) che casualmente possono avere un'interazione antiferromagnetica (A) o ferromagnetica (F) con i loro primi vicini. Ogni spin ha così una probabilità p di accoppiarsi con il primo vicino in modo da avere entrambi i momenti magnetici diciamo concordi e una probabilità (1-p) di dar luogo a una situazione antiferromagnetica (momenti opposti) anche in assenza di campi magnetizzanti. È una situazione in cui l'interazione tra coppie di spin è dominata dal caso e può dar luogo a una magnetizzazione spontanea.

3 I frattali sono oggetti le cui forma si ripete allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendone una qualunque parte si ottiene una figura simile all'originale.

NOTA

"Supponiamo che in una stanza ci sia un certo numero di persone che si conoscono. Queste persone vengono divise a caso in due gruppi e successivamente a ciascuna di esse viene domandato se vuole passare da un gruppo all'altro (ogni interpellato risponde sì o no a seconda delle proprie simpatie o antipatie); in caso di risposta positiva la persona cambia gruppo immediatamente. Dopo un primo giro, non tutti saranno ancora soddisfatti: qualcuno che aveva cambiato di posto (o che non aveva cambiato al primo giro), vorrà riconsiderare la propria situazione dopo i cambiamenti effettuati dagli altri. Si procede a un secondo giro di spostamenti e si va avanti così, finché non c'è più nessuno che richiede di essere spostato. A uno stadio successivo, possiamo provare a spostare non solo i singoli, ma anche più persone contemporaneamente (può capitare infatti che un cambiamento di gruppo sia vantaggioso solo se fatto in compagnia), finché non si raggiunge uno stato di soddisfazione generale.
La possibilità di soddisfare tutte le richieste dei singoli dopo un numero finito di giri dipende crucialmente dall'ipotesi che il rapporto di simpatia sia simmetrico, ovvero che, se Tizio è simpatico a Caio, anche Caio sia simpatico a Tizio. Possiamo però avere anche situazioni asimmetriche: Tizio ha simpatia per Caio, ma Caio non può sopportare Tizio. Se situazioni di questo tipo sono molto comuni, il procedimento sopra indicato non tenderà mai a uno stato stabile: Tizio insegue Caio che scappa e i due non si fermeranno mai. Il caso in cui il rapporto è asimmetrico differisce profondamente da quello in cui è simmetrico; solo in quest'ultimo le volontà dei singoli sono tutte orientate verso lo stesso scopo di ottimizzazione della soddisfazione generale.
Ovviamente, la configurazione finale dipenderà dai sentimenti reciproci e dalla configurazione iniziale, e quindi non è direttamente calcolabile in assenza di queste informazioni. Possiamo tuttavia pensare di calcolare approssimativamente alcune proprietà generali di questa dinamica (per esempio quanti giri bisogna fare prima che tutti siano contenti) facendo l'ipotesi che la distribuzione delle simpatie e delle antipatie sia casuale.
Supponiamo di conoscere la distribuzione di probabilità delle simpatie, ipotizzando, ad esempio, che la probabilità che due persone scelte casualmente si siano simpatiche sia p, dove p è un numero compreso fra 0 e 1 (spesso si considera il caso p =1/2).
Bisogna a questo punto verificare se questa modellizzazione dei rapporti sia corretta o se invece la situazione reale non sia più complicata (per esempio, possiamo introdurre una gradazione nell'antipatia e supporre che i vicini di casa abbiano rapporti molto intensi, mentre persone che abitano lontano si siano praticamente indifferenti). Una volta ottenuta una modellizzazione accurata della distribuzione di probabilità delle simpatie, possiamo cercare di fare previsioni sul sistema, che saranno di natura puramente probabilistica e diventeranno tanto più precise (ovvero con un errore relativo sempre più piccolo) quanto più il sistema diventerà grande (ovvero nel limite in cui il numero dei componenti tende a infinito).
Il sistema descritto, nel caso simmetrico corrisponde puntualmente (dal punto di vista matematico) ai vetri di spin (v. Mézard e altri, 1987; v. Balian e altri, 1979): se sostituiamo le parole ‛simpatico' e ‛antipatico' con ‛ferromagnetico' e ‛antiferromagnetico' e identifichiamo i membri dei due gruppi con spin orientati in direzioni differenti, otteniamo una descrizione precisa dei vetri di spin. Infatti, a basse temperature un sistema fisico si evolve in maniera da minimizzare l'energia e questa dinamica è molto simile al processo di ottimizzazione appena descritto, a patto di identificare l'energia con l'insoddisfazione generale."